Mathématiques

Les Mathématiques en PTSI/PT

Introduction

Les mathématiques jouent de multiples rôles au sein du programme des classes préparatoires scientifiques et en particulier en PTSI/PT. D’une part, l’étude des mathématiques, en tant que discipline indépendante, permet de développer les capacités de raisonnement et d’abstraction et de dégager des méthodes générales pouvant s’appliquer à un grand nombre de situations, concrètes ou abstraites. D’autre part, les mathématiques fournissent des outils aux autres disciplines scientifiques facilitant la modélisation et la résolution de problèmes appliqués.

Première année, PTSI

Premier semestre

Le premier semestre vise deux objectifs majeurs : d’une part aménager un passage progressif de la classe de Terminale à l’enseignement supérieur, et d’autre part présenter de nouveaux outils et de nouveaux champs de mathématiques.

De nombreuses notions vues en Terminale, sont ainsi reprises en début d’année de PTSI et développées. Cela inclut par exemples l’étude des nombres complexes, des rappels d’analyse sur les études de fonctions, les propriétés des fonctions de base, les calculs de limites et d’intégrales.

À cela s’ajoutent de nouveaux développements. Ainsi, en analyse, des nouveaux outils comme les équations différentielles ou les notions d’équivalences et de négligeabilité qui fournissent des méthodes puissantes pour étudier des problèmes de limites (et permettent de conclure plus souvent lorsque l’on rencontre des formes indéterminées). Un autre exemple est fourni par l’introduction du calcul matriciel qui permet de formaliser efficacement la résolution de systèmes d’équations linéaires.

Second semestre

La seconde moitié de l’année est organisée autour de 4 grands axes du programme.

Géométrie

La géométrie plane et de l’espace sont l’occasion d’aborder les notions transversales de la géométrie (avec les problèmes de repérage dans le plan et l’espace, les raisonnements autour de figures simples comme les droites, les plans, les cercles et sphères) qui sont utilisées en sciences physiques et en S.I.I. De plus, ce chapitre permet de mettre en applications les notions introduites au premier semestre avec le calcul matriciel et d’en développer d’autres, comme celle de base de vecteurs.

Algèbre linéaire

Les notions de base de l’algèbre linéaire ayant été introduites auparavant, avec les systèmes linéaires, le calcul matriciel, les notions de bases de vecteurs et coordonnées, sont maintenant redéfinies et développées dans une approche générale à travers l’algèbre linéaire. Dans cette partie du programme, partant de l’intuition développée en considérant en particulier les vecteurs de la géométrie, on développe un ensemble d’outils généraux s’inspirant de la géométrie, de la résolution de systèmes et s’appliquant à d’autres domaines comme l’étude des polynômes, des suites ou la résolution des équations différentielles.

Analyse

L’analyse réelle, par le biais de l’étude des suites et des fonctions, est reprise de façon rigoureuse, en définissant précisément la notion de limites, et en étudiant (et en prouvant) des propriétés qui en découlent. En particulier, la continuité et la dérivabilité s’expriment en terme de limites, et les outils développés permettent d’aborder proprement ces notions. De même, on définit proprement l’intégrale d’une fonction continue.

Enfin, dans la continuité des outils d’équivalence et de négligeabilité présentés au premier semestre, on définit le concept de développement limité qui fournit de nouveaux outils pour calculer et comprendre les comportements asymptotiques de fonctions et de suites.

Probabilités

Le dernier axe du programme est consacré à la présentation des outils de base du calcul des probabilités. Le programme de première année se limite à une présentation de ces notions dans le cadre simple d’un univers fini, où l’on modélise des expériences aléatoires avec un ensemble fini d’événements possibles.

Seconde année, PT

Le programme de seconde année poursuit et développe ce qui a été vu en PTSI.

Algèbre linéaire

Les notions introduites en premières années sont reprises et développées. De plus, un nouvel outil, l’analyse spectrale, est introduit. Il permet, par exemple, de présenter des méthodes pour analyser et classer les transformations vectorielles (à l’aide plus particulièrement de la réduction d’endomorphismes).

Géométrie

La partie géométrie développe elle aussi les idées de la géométrie euclidienne vues en première année, et fournit un premier domaine d’application à l’analyse spectrale vue en algèbre linéaire.

Une autre partie, en lien avec l’analyse, développe l’étude de fonctions à valeurs vectorielles (en 2 et 3 dimensions) permettant de représenter, par exemple, le trajet dans l’espace d’un point matériel.

Analyse réelle

En conjonction avec l’étude de fonctions à valeurs vectorielles, on introduit aussi des outils permettant d’étudier des fonctions définies non sur un intervalle de R, mais sur une partie du plan ou de l’espace. On peut voir une telle fonction comme associant à tous points d’un domaine du plan ou de l’espace soit un réel (comme une température), soit un vecteur (comme lea valeur du champ magnétique, ou une vitesse).

D’autres points sont aussi développés :

• Alors qu’en première année, l’intégrale d’un fonction continue n’était définie que sur un segment (c’est-à-dire sur un intervalle fermé et bornée, de la forme $[a,b]$), on étend sa définition à des intervalles quelconques par le biais des intégrales généralisées (on parle aussi d’intégrales impropres). Cela permet par exemple de traiter des situations où la fonction admet une limite infinie à l’une de ses bornes d’intégration.
• Un autre développement du calcul intégral est l’étude des intégrales à paramètres, où la fonction intégrée dépend, en plus de l’argument correspondant à la variable d’intégration, d’un paramètre comme l’on peut interpréter par exemple comme la dépendance temporelle de la fonction intégrée.
• Les séries (que l’on peut voir comme des sommes infinies, et qui sont un cas particulier et très utile de suites) sont reprises (les premières idées avaient été introduites dès la première année) et développées. De plus, avec les séries entières, on étudie une forme de série dépendant d’un paramètre (en l’occurence un réel ou un complexe) qui fournit une nouvelle façon d’exprimer et d’étudier un grand nombre de fonctions usuelles.

Probabilités

La première année avait basé l’étude des probabilités aux univers finis. En seconde année, on introduit les probabilités discrètes, où on peut avoir une infinité (“pas trop grande”) d’événements.

Suivent l’étude de lois de probabilités très utiles dans de nombreux domaines (loi géométrique, loi de Poisson) et de quelques résultats asymptotiques, comme la loi des grands nombres.